Das Kugelvolumen soll abgeleitet werden.
Vorbereitung:
Da das Kugelvolumen proportional $r^3$ ist, kann man vereinfacht die Einheitskugel betrachten. und den Faktor $r^3$ später hinzufügen. Aus Symetriegründen genügt es, eine Halbkugel zu betrachten.
Die Idee:
Die Halbkugel wird in n Scheiben geschnitten. Die Scheiben werden von 1 bis n durchnummeriert, näherungsweise als Zylinder betrachtet und aufsummiert.
Es gilt
$V=\sum _{k=1}^n{s}_k$
Die k-te Scheibe hat die Höhe 1/n, die Kreisfläche $A=r_k\mathrm{\pi }$
und das Volumen ${\mathrm{s}}_{\mathrm{k}}=\frac{1}{\mathrm{n}}{{\mathrm{r}}_{\mathrm{k}}}^2\mathrm{\pi }$
Pi kann aus der späteren Summe ausgeklammern und nach links gebracht werden. Daher ist
$\frac{V}{\mathrm{\pi }}={\sum }_{k=1}^n\left\{\frac{1}{n}{r_k}^2\right\}$
Für das k-te r gilt
${r_k}^2=1-{\left(\frac{k}{n}\right)}^2$
oben eingesetzt folgt
${\sum }_{k=1}^n \left\{\frac{1}{n}\left[1-{\left(\frac{k}{n}\right)}^2\right]\right\}$
${\sum }_{k=1}^n\left(\frac{1}{n}-\frac{k^2}{n^3}\right)$
${\sum }_{k=1}^n\frac{1}{n}-{\sum }_{k=1}^n\frac{k^2}{n^3}$
$1-\frac{1}{n^3}\sum k^2$
$1-\frac{1}{n^3}\left(\frac{1}{3}{n}^3+\frac{1}{2}{n}^2+\frac{1}{6}n\right)$
$1-\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{2n}+\frac{1}{6n^2}\right)$
Die beiden letzten Glieder verschwinden für n -> ∞
also verbleibt 1-1/3 = 2/3
Jetzt noch die Halbkugel vervollständigen und den Faktor r³ hinzufügen.
Es ergibt
$V=\frac{4}{3}{\mathrm{r}}^3\mathrm{\pi }$

q.e.d.